在复杂网络研究中，有效图阻（Effective graph resistance）是一个衡量网络传输效率与鲁棒性的经典指标。长期以来，它被定义为网络中任意两点间的等效电阻之和，其数学表达依赖于拉普拉斯矩阵的伪逆运算。尽管该指标应用广泛，但其物理含义始终停留在电网络类比的层面，缺乏直观的动力学解释。近日，深圳大学吴宗泽和王向荣团队联合西班牙萨拉戈萨大学Yamir Moreno教授在《Nature Communications》发表研究，首次严格证明了有效图阻在物理上等价于图扩散过程中的累计热耗散量，为这一沿用二十多年的结构指标赋予了清晰的物理内涵。

图一：有效图阻等价于图扩散过程中的累计热耗散量

该研究从图的扩散动力学出发，考虑一个初始处于非平衡态的网络，其节点状态（如温度、电压或信息浓度）随时间遵循热传导方程演化至平衡状态。在此过程中，系统因摩擦或阻尼产生的瞬时热耗散率可由节点状态变化率的有效频谱度量。研究团队通过严格的数学推导证明，将这一耗散率从初始时刻积分至平衡时刻，得到的总热量恰好等于网络的有效图阻除以节点数。换言之，一个网络的有效图阻越大，意味着它从初始态收敛到稳定状态所需耗散的能量就越多。

这一发现不仅建立了结构指标与物理扩散过程的精确等价，还揭示了有效图阻的多尺度演化规律。通过将扩散过程按时间窗口分解，研究者发现：早期耗散由节点的局部连接度决定，反映了局部结构的阻尼；中期耗散由均值以下的低频决定，对应社团介观结构；而晚期耗散则完全由代数连通度主导，体现了网络的全局鲁棒性。这种对时间尺度分解的精准刻画，使得研究者能够像频谱滤波一样分析有效图阻，从而诊断网络在局部、介观和全局层面的“能耗病灶”。

在应用层面，该成果将原本离散、NP难的结构优化问题转化为连续、可微的物理量优化问题。由于累计热耗散对边权和拓扑结构存在明确的梯度，研究者可以高效地指导网络设计。例如在微电网规划中，可以通过分频最小化累计热耗散来确定多条新增输电线路的位置，从而在降低总损耗的同时提高系统的抗干扰能力；在多智能体协同控制或联邦学习中，该理论有助于设计能耗更低、收敛更快的通信拓扑。此外，在交通网络中，该指标可用来评估拥堵消散的社会总成本，为应急管理和基础设施优化提供定量依据。

此项工作成功地将复杂网络的结构性质与统计物理中的输运理论连接起来，不仅深化了对网络动力学本质的理解，也为下一代高性能、低能耗、高韧性网络的设计提供了全新的理论工具和物理视角。

深圳大学王向荣为论文第一作者，吴宗泽教授与Yamir Moreno教授为论文共同通讯作者。该研究得到国家自然科学基金、广东省基础与应用基础研究重大项目、深圳市科技计划项目等资助。

论文链接：//www.nature.com/articles/s41467-026-75760-9

撰写：吴宗泽、王向荣

排版：陈仕发

一审一校：任露洋

二审二校：娄燕

三审三校：郑纯